Matemática básica Ejemplos

${(\frac{- 2 y + 12}{3})}^{2} - y + 2 y^{2} = 12$

Paso 1

Simplifica ${(\frac{- 2 y + 12}{3})}^{2} - y + 2 y^{2}$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y + 12$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

${(\frac{2 (- y) + 12}{3})}^{2} - y + 2 y^{2} = 12$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $2$ de $12$ .

${(\frac{2 (- y) + 2 (6)}{3})}^{2} - y + 2 y^{2} = 12$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- y) + 2 (6)$ .

${(\frac{2 (- y + 6)}{3})}^{2} - y + 2 y^{2} = 12$

Paso 1.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 1.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 (- y + 6)}{3}$ .

$\frac{{(2 (- y + 6))}^{2}}{3^{2}} - y + 2 y^{2} = 12$

Paso 1.1.2.2

Aplica la regla del producto a $2 (- y + 6)$ .

$\frac{2^{2} {(- y + 6)}^{2}}{3^{2}} - y + 2 y^{2} = 12$

Paso 1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2}}{3^{2}} - y + 2 y^{2} = 12$

Paso 1.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2}}{9} - y + 2 y^{2} = 12$

Paso 1.2

Para escribir $- y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2}}{9} - y \cdot \frac{9}{9} + 2 y^{2} = 12$

Paso 1.3

Combina $- y$ y $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2}}{9} + \frac{- y \cdot 9}{9} + 2 y^{2} = 12$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - y \cdot 9}{9} + 2 y^{2} = 12$

Paso 1.5

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} + 2 y^{2} = 12$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} + 2 y^{2} = 12$ por $9$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} + 2 y^{2} = 12$ por $9$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} \cdot 9 + 2 y^{2} \cdot 9 = 12 \cdot 9$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} \cdot 9 + 2 y^{2} \cdot 9 = 12 \cdot 9$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 2 y^{2} \cdot 9 = 12 \cdot 9$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 18 y^{2} = 12 \cdot 9$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Multiplica $12$ por $9$ .

$4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 18 y^{2} = 108$

Paso 3

Resta $108$ de ambos lados de la ecuación.

$4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4

Simplifica $4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 18 y^{2} - 108$ .

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Reescribe ${(- y + 6)}^{2}$ como $(- y + 6) (- y + 6)$ .

$4 ((- y + 6) (- y + 6)) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.2

Expande $(- y + 6) (- y + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- y (- y + 6) + 6 (- y + 6)) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- y (- y) - y \cdot 6 + 6 (- y + 6)) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- y (- y) - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 (- 1 \cdot - 1 y \cdot y - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$4 (- 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$4 (- 1 \cdot - 1 y^{2} - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 (1 y^{2} - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.3.1.4

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$4 (y^{2} - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.3.1.5

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$4 (y^{2} - 6 y + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$4 (y^{2} - 6 y - 6 y + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.3.1.7

Multiplica $6$ por $6$ .

$4 (y^{2} - 6 y - 6 y + 36) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.3.2

Resta $6 y$ de $- 6 y$ .

$4 (y^{2} - 12 y + 36) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} + 4 (- 12 y) + 4 \cdot 36 - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.1

Multiplica $- 12$ por $4$ .

$4 y^{2} - 48 y + 4 \cdot 36 - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.1.5.2

Multiplica $4$ por $36$ .

$4 y^{2} - 48 y + 144 - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Paso 4.2

Suma $4 y^{2}$ y $18 y^{2}$ .

$22 y^{2} - 48 y + 144 - 9 y - 108 = 0$

Paso 4.3

Resta $9 y$ de $- 48 y$ .

$22 y^{2} - 57 y + 144 - 108 = 0$

Paso 4.4

Resta $108$ de $144$ .

$22 y^{2} - 57 y + 36 = 0$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 22 \cdot 36 = 792$ y cuya suma es $b = - 57$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $- 57$ de $- 57 y$ .

$22 y^{2} - 57 y + 36 = 0$

Paso 5.1.2

Reescribe $- 57$ como $- 24$ más $- 33$

$22 y^{2} + (- 24 - 33) y + 36 = 0$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$22 y^{2} - 24 y - 33 y + 36 = 0$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(22 y^{2} - 24 y) - 33 y + 36 = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 y (11 y - 12) - 3 (11 y - 12) = 0$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $11 y - 12$ .

$(11 y - 12) (2 y - 3) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$11 y - 12 = 0$

$2 y - 3 = 0$

Paso 7

Establece $11 y - 12$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 7.1

Establece $11 y - 12$ igual a $0$ .

$11 y - 12 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $11 y - 12 = 0$ en $y$ .

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Paso 7.2.1

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$11 y = 12$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $11 y = 12$ por $11$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $11 y = 12$ por $11$ .

$\frac{11 y}{11} = \frac{12}{11}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 y}{11} = \frac{12}{11}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{12}{11}$

Paso 8

Establece $2 y - 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 8.1

Establece $2 y - 3$ igual a $0$ .

$2 y - 3 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $2 y - 3 = 0$ en $y$ .

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Paso 8.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = 3$

Paso 8.2.2

Divide cada término en $2 y = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Divide cada término en $2 y = 3$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 8.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3}{2}$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(11 y - 12) (2 y - 3) = 0$ verdadera.

$y = \frac{12}{11}, \frac{3}{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \frac{12}{11}, \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$y = 1.\overline{09}, 1.5$

Forma de número mixto:

$y = 1 \frac{1}{11}, 1 \frac{1}{2}$